第8章   模型思想

模型思想作為重要的數學思想方法之一，體現了數學學科的應用本質，對數學學科的發展具有重要的推動作用，是實現數學學科應用功能的基本形式和重要手段。數學模型思想的教育對培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決現實問題的能力具有十分重要的作用。早在上世紀七十年代初，英、美等國已將數學模型思想的教育作為基礎教育的重要內容。本世紀初，我國基礎教育數學課程改革也已將數學模型思想的教育列入數學課程標準，并在教材和教學中進行了初步實施。經過幾年的探索與實踐，取得了一定成效。然而，我們的調查研究表明，其實施效果卻不盡人意。究其主要原因在于，我國基礎教育中對數學模型思想的內涵、要求、教學策略與方法缺乏足夠的認識和有效研究。鑒于此，本章擬對數學模型思想的涵義、要求和教學問題進行初步討論，以期推動數學模型思想在基礎教育階段的有效實施。

第1節  數學模型思想的基本涵義

1  原型（Prototype）

所謂原型是指人們關心、研究或者從事（工作、學習、生產、管理等）的現實世界的實際對象。既包括有形的對象，也包括無形的、思維中的對象。在學習、生產、科技等領域里通常使用系統、過程等詞匯描述原型，如學習系統、教學系統、方法系統、生命系統、生態系統、機械系統、電力系統、社會經濟系統等；又如學習過程、教學過程、生產銷售過程、計劃決策過程、鋼鐵冶煉過程、導彈飛行過程、化學反應過程、人口增長過程、污染擴散過程等。這些現實對象、研究對象等均為我們所說的原型。

2  模型（Model）

所謂模型是一種結構，它是為了某個特定目的，在分析研究實際問題的結構特征基礎上構造的整個原型或其部分或其某一方面的替代物，是對原型信息的簡縮、提煉，是對原型的形象化或模擬與抽象，是對原型的某一（或某些）方面的簡化與近似反映。其實，在現實生活中，人們總是自覺或不自覺地用各種各樣的模型來描述一些事物或現象。地圖、地球儀、玩具火車、建筑模型、昆蟲標本、恐龍化石、照片等都可以看作模型，它們都從某一方面反映了真實對象與現象（原型）的特征或屬性。模型應具有如下三個相互聯系、相互制約的特性的特性：

（1） 模型應是對客觀事物有關屬性的模擬或抽象。 模型與原型在特性、結構或功能行為等方面具有某種相似關系。模型是由那些與研究問題有關的部分或因素構成，在認識過程中能夠被當作客體原型的替代物而便于進行研究。譬如，航空模型就是飛機的一個抽象，除了機翼與機身的形狀及其相對位置關系外的一切因素，包括飛機的實際大小都在抽象的過程中被忽略掉了，雖然它與原型的實際飛機已經相距甚遠，但是在飛行過程中機翼的位置與形狀如何影響飛機在空中平穩地滑翔仍然可以給人們以很大啟迪。

（2） 模型應具有所研究對象的基本特征或要素。 一個模型應該在所關心的方面體現出真實對象的主要特征，否則就沒有多少意義。如一個城市的交通圖是這個城市的一個模型，它就應該包含這個城市的主要公交路線。如果這個交通圖漏掉了幾條主要的交通干線，那么它就不能作為這個城市交通路線模型。

（3） 模型應包括決定其原因和效果的各個要素之間的相互關系。 依據模型，人們就可以在模型內實際處理一個系統的所有要素，并觀察它們的效果。模型表明這些有關部分或因素之間的關系，通過模型進行模擬實驗，能夠得到關于原型的一些信息。

由上述對模型特性的分析可以認為，原型和模型是一對具有密切聯系的對偶體，模型來源于原型，但并不是對原型簡單的模仿，由原型到模型要經過對原型的簡化和加上人為的一些假設。因此，一般來說，模型不是原型原封不動的復制品，或者說模型與原型之間不是一個同構對應，而只能是某一（或某些）方面的近似反映。模型是人們為了認識和理解原型而對它所作的抽象與升華，它通過對模型的分析、研究加深對原型的理解和認識。

原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關的那些方面和層次。為了不同的目的，一個原型可以有許多不同的模型。根據人們的目的，從現實對象中選一部分所關心的特征或屬性來進行描述，其他方面的特征或屬性將不予以考慮（對于其他的一些特征或屬性，實際原型與模型甚至可以相差很遠）。譬如，一般地圖是大地的一種模型，它保持各地區之間的距離和位置不變；鐵路線路示意圖也是大地的一種模型，它只表示鐵路線的聯結情況，并不保持各點間的距離不變。這兩種模型是人們為了不同的目的，對大地的屬性所作的不同的近似描述。又譬如，放在展廳里的飛機模型，它在外形上逼真，但是不一定會飛；而參加航模比賽的模型飛機就要求具有良好的飛行性能，在外觀上可不必苛求；至于在飛機設計、試制過程中用的抽象模型（即數學模型）和計算機模擬，則是要求在數量規律上真實反映飛機的飛行動態特性，毫不涉及飛機的實體。所以，模型的基本特征是由構造模型的目的決定的。模型所反映的內容將因其使用的目的不同而不同。

模型有各種形式，用模型替代原型的方式來分類，模型可以分為物質模型（形象模型）和思想模型（抽象模型）。前者包括直觀模型、物理模型等，后者包括思維模型、符號模型、數學模型等。

（1）直觀模型。指那些供展覽用的實物模型。如玩具、教具、展覽館或科技館的展具、照片等。此類模型通常是將原型的尺寸按比例縮小或放大，主要追求外觀上的逼真。這類模型具有一目了然的效果。

（2）物理模型。主要指科技工作者為一定目的，根據物理學的相似原理構造的模型。它不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以用來進行模擬實驗，間接地研究原型的某些規律。如波浪水箱中的艦艇模型用來模擬波浪沖擊下艦艇的航行性能；風洞中的飛機模型用來試驗飛機在氣流中的空氣動力學特性。有些現象直接用原型研究非常困難，便可借助于這類模型，如地震模擬裝置，核爆炸反應模擬設備等。在運用這類模型進行研究時應注意驗證原型與模型間的相似關系，以確定模擬實驗結果的可靠性。物理模型?？傻玫胶苡袑嵱脙r值的結果，但也存在成本高、時間長、不靈活等缺點。

（3）思維模型。指通過人們對原型的反復認識，將獲取的知識以經驗形式直接貯存于人腦中，從而可以根據思維或直覺作出相應決策的模型。它是人思維中的經驗模型。 如汽車司機對方向盤的操縱以及一些技藝性較強的工種（如鉗工）的操作，大體上是靠這類模型進行的。思維模型便于接受，也可以在一定條件下獲得滿意的結果，但是它往往帶有模糊性、片面性、主觀性、偶然性等缺點，難以對其假設條件進行檢驗，并且不便于人們的相互溝通。

（4）符號模型。是指在一些約定或假設下借助于特定的符號、線條等，按一定形式組合連接起來的模型。如數學、物理、化學中的公式、表達式、地圖、電路圖、化學結構式等，具有簡明、方便、目的性強及非量化等特點。

3  數學模型（Mathematical Model）

關于數學模型目前尚無一個公認的定義。但數學模型存在廣義和狹義兩種解釋。

廣義的解釋，自從有了數學并要用數學去解決實際問題時，就一定要使用數學的語言、方法去近似地刻劃這個實際問題，這就是數學模型。因此，一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種方程式（代數方程、函數方程、微分方程、差分方程，積分方程……）以及由公式系列構成的算法系統等等,都可稱之為數學模型。數、幾何圖形、函數、導數、積分、向量、集合、群、環、域、范疇、線性空間、拓撲空間、數學物理方程以至于廣義相對論、規范場等都是非常成功的數學模型。運籌學以及統計學的大部分內容也都是關于數學模型的討論和分析。按照這種觀點，數學模型并不是新的事物，很久以來它就一起伴隨在我們身邊?？梢哉f在數學的發展進程中無時無刻不留下數學模型的印記。整個數學也可以說是一門關于數學模型的科學。這種解釋我們認為太寬泛了，以致于數學模型方法在數學中失去了特定的意義。

狹義的解釋，所謂數學模型，就是為了特定目的，針對或參照某種事物系統的主要特征或主要關系，用形式化的數學語言，概括地或近似地表述出來的一種數學結構。只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學結構才叫做數學模型。這里的數學結構，有兩方面的具體要求：第一，這種結構是一種純關系結構，即必須是經過數學抽象揚棄了一切與事物無本質聯系的屬性后的系統的結構；第二，這種結構是用數學概念和數學符號來表述的，它借助于數學符號、公式、圖表等刻劃客觀事物的本質屬性與內在規律，是系統的某種特征本質的數學表達式。

數學模型是通過抽象和簡化，使用數學語言對客觀事物的某些屬性與內在特征的一個近似的刻畫，是對現實對象的信息通過提煉、分析、歸納、升華的結果。通過數學上的演繹推理和分析求解，使得我們能夠深化對所研究的實際問題的認識，是人們用以認識現實系統和解決實際問題的工具。譬如：

牛頓第二定律使用公式F = mdx ² / dt ²來描述受力物體的運動規律就是一個成功的數學模型，其中x(t)表示運動的物體在時刻t的位置，m為物體的質量，而F表示運動期間物體所受的外力。這一模型忽略了阻力、物體的形變、物體的形狀和大小，抓住了物體受力運動的主要因素，從而大大深化了力與物體運動規律的研究；

 在考慮兩個物體之間的相互作用時，對于它們之間的相互吸引這種屬性，可以用數學公式F = k來表示吸引力與其它因素之間的關系，這就是物質相互吸引的數學模型；

一個線性彈簧，考查其形變x與彈力F之間的關系，可以用數學公式F = – kx來表示它們之間的規律，其中負號表示形變的方向與彈力方向相反；

描述人口N (t)隨時間t自由增長過程的數學模型dN (t)/dt = rN (t)，盡管由于它忽略了性別、年齡、社會、經濟和自然界的約束條件等許多與人口增長有密切關系的因素，相對于實際人口的動態來說被大大簡化了。但它所揭示出的在一定時期內人口成等比級數增長的結論是人們不得不面對的嚴酷事實。

作為現實問題的數學模型，具有如下幾個基本特性：

（1）抽象性。數學模型是為了實現某種目的，在保留現象的某些本質方面的前提下，而舍棄現象中的許多非本質方面，舍棄現實原型中的非本質屬性，弱化次要因素，使本質要素形式化，從而對原型作出簡化而本質性的刻劃。因此，比原型具有抽象性是十分自然的，這樣的抽象也顯示出概括性特征，使同一個數學模型可以運用到不同的實際情景中去。這個抽象不同于數學理論中的抽象思維。它是要求人們從實際問題中抽象出其中的數學內涵。

（2）實踐性。任何一個數學模型都有其實際背景，都是從特定的實際問題中抽象出來的，離開實際背景而定義的或想象出來的數學表達不可能準確地描述特定的實際問題。因此，一個好的數學模型必須具有實際背景、有明確的針對性，要接受實踐的檢驗，并且被證明是正確的、可用的。

（3）數量性。數量性是數學模型所特有的。它體現了數學模型不同于其它各種思維模型，是一種用數學語言表達的定量化的模型。用數學語言的描述往往比其它模型更概括、更精煉、更準確，也更能抓住事物的本質。建立數學模型以后，對對象的研究可以完全轉化在數學演繹的范疇進行，一般來說要比用其它方法更為有效、便捷。

（4）準確性。由于數學模型是用數學語言表述的數學結構，因此克服了自然語言含糊不清，敘述過繁、容易產生歧義等不足，實際問題中的各種關系及問題結構得到了比較精確的表述。

（5）預測性。建立數學模型的目的是為了解決實際問題，數學模型的研究結果要能夠經得起實際問題的檢驗，與實際結果相符或近似相符（不超過人們所期望的范圍），或為實際問題的解決提供可行、有效的方案與程序。具有這樣預測性的數學模型才有生命力，否則，必將被舍棄或修正。數學模型不是原型的復制品，數學模型與原型之間不是一個同構對應，而是為一定的目的對原型所作的一種抽象模擬，是對原型的數量相依關系的一個反映。它用數學式子、數學符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質屬性與內在聯系，是對現實世界的抽象、簡化而又本質的描述。它源于現實，且高于現實。它或者能解釋事物的各種性態，預測它將來的性態；或者能為控制某一事物的發展提供最優化策略等等，都是為了最終達到解決實際問題之目的。

4  數學建模（Mathematical Modeling）

用數學方法解決實際問題，要求從實際錯綜復雜的關系中找出其內在規律，然后用數字、圖表、符號和公式將它表示出來，再經過數學與計算機的處理，得出供人們進行分析、決策、預報或者控制的定量結果，這種將實際問題進行簡化歸結為數學問題并求解的過程就是數學建模。

廣義而言，數學本身就是刻畫現實世界的模型。數學的研究既不像物理學、化學、生物學那樣以自然界的具體運用形態為對象，也不像經濟學、社會學、政治學那樣以社會的具體運動形態為對象。數學研究的是形式化、數量化的思想材料。而按照唯物主義認識論的觀點，思想只能來源于現實世界，但不是原原本本復制現實世界，需要經過一定的加工、抽象，這種思想材料的獲取過程，實際上就是對現實世界研究對象的建模。如原始人從“數”（shǔ）獵物中創造了“數”（shù），這就是建模；古埃及人在丈量土地時發明了三角，這也是建模；而微積分基本上可以視為是17世紀時對力學、天文學問題的數學建模。因此可以說，建模本身就是數學發展的原動力?，F代數學就其研究對象而言，相當多數已經很難看出原型的痕跡，因而也不稱其為“模型”。從學科發展來講，數學既然是研究思想材料的學科，那么一旦思想的框架以公理化的形式建造起來，就可以按照自身的體系和邏輯，演繹出一個繁雜龐大的理性世界，數學工作者們不斷地去了解、熟悉它，并通過自己的工作去參與構筑這個理性世界大廈，這樣數學學科便不斷豐富發展。這些工作當然是必要的和有意義的，但另一方面，多數人更感興趣的問題是這個理性世界能否與某部分現實世界對應，以更好地運用它來描述解決現實世界的問題？這就需要我們重新回到實際問題中去，采用有別于經典的嚴格意義下的數學思維方式，針對特定問題與特定目的進行必要的簡化、假設，選取適當的數學工具進行研究，這就是當今意義下的數學建模。

在實踐中所能遇到的往往是數學和其他東西混雜在一起的問題。而且對于如何使用數學語言來描述所面臨的實際問題也往往不是輕而易舉的，其中的數學奧妙不是明擺在那里，而是暗藏在深處等著我們去發現，我們要對實際問題中看起來雜亂無章的復雜現象進行分析，發現其中的可以用數學語言來描述的關系或規律，從中抽象出恰當的數學關系，將這個實際問題化成一個數學問題，這個過程就是數學建模。與數學不同，數學模型的組建的過程不僅要進行演繹推理而且還要對復雜的現實進行歸納、總結和提煉，這是一個歸納總結與演繹推理相結合的過程。

5  數學模型思想（mathematical model idea）

所謂數學模型思想，是指首先將所研究和考察的實際問題化為數學問題，構造出相應的數學模型，然后對數學模型進行研究，使原來考察的現實問題得以解決的一種“數學化”。簡單地說，就是構造刻畫客觀事物原型的數學模型并用以分析、研究和解決現實問題的一種“數學化”。

第2節  數學模型思想的基本步驟

1  分析問題

在運用模型思想解決現實問題時，首先應對問題的背景和結構有深刻的了解，為此，必須對該問題進行全面細致的分析，挖掘問題的各種信息，分析問題所涉及的量的關系，把握問題的基本特征。

2  簡化假設

現實問題常常涉及多方面的因素，因此，要想建立一個數學模型來反映一個現實問題，面面俱到、無所不包是不可能的，為便于運用數學方法順利、有效地解決實際問題，就必須對現實問題進行理想化抽象。根據現實問題的特征和建模的目的，在分析問題基礎上，用精確的語言作出假設，對問題實施必要的簡化和理想化。

3  建立模型

根據對現實問題的分析和簡化假設，利用適當的數學工具刻畫各變量之間的關系，建立相應的數學模型（公式、表格、圖形等），這是運用數學模型思想解決現實問題的關鍵一步。其要點是將錯綜復雜的現實問題簡化、抽象出合理的數學結構，使現實問題中的概念和關系與數學系統中的概念和關系有效對應。

4  求解模型

求解模型是運用數學方法及計算機技術對所建立的數學模型進行求解，從而獲得現實問題的數學模型的數學解。對數學模型求解，一般包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等等，但不存在萬靈的求解方法，要求建模者掌握相應的數學知識和必要的計算手段與技能。

5  分析模型

由于在建立數學模型時所作的簡化假設和所附加的數據測量與計算誤差，所建模型的結果未必能滿足實際要求，因此，必須對所建模型及其結果進行分析。對模型求出的解進行數學上的分析。這樣，就要根據問題的性質與要求對變量間的依賴關系進行分析和對解的穩定性、敏感度及誤差進行分析。

6  檢驗模型

完成模型的建構及求解分析之后，還需要對模型的真實性，合理性和適用性進行檢驗。模型只有在被檢驗、評價、確認基本符合要求之后，才能被接受。

7  修改模型

一個數學模型被檢驗后如果不符合實際或與實際的偏差程度不能被接受時，則應采取措施來修改或重建數學模型，然后將修正過或新建立的數學模型再返回到現實原型進行檢驗，考察其是否符合客觀實際，若不符合，再進行修正或重新建模，直至獲得符合現實問題的數學模型。

8  應用模型

數學模型的應用價值取決于其是否具有廣泛的適用性，因此應推廣所建立的數學模型，擴大數學模型的應用范圍，以提高其使用價值。模型應用就是將所建立的數學建模用于分析、解釋已有的現象，預測未來的發展趨勢，研究和解決其它現實問題。由于數學模型的建立一般是在一定的假設條件下完成的，因此，數學模型的應用也有一定的適用條件和范圍，不能將模型盲目地運用于與條件、范圍不相符的問題。

數學模型思想的各步驟之間有著密切的聯系，是一個統一的整體，不能截然分開。然而，在實際的數學建模過程中并非都必須嚴格經過上述這些步驟，通常各個步驟之間的界限也并不那么明顯，上述步驟往往相互交融。在建模過程中應靈活運用。下面通過一例說明數學模型思想的基本步驟。

例  在鉛球的訓練和比賽中，教練和運動員最為關心的問題是如何使鉛球擲得最遠。影響鉛球投擲遠度的因素有哪些？哪些是影響鉛球投擲遠度的主要因素？在平時訓練中，應該更注意哪些方面的訓練？

1  問題背景與分析：用現代數學方法研究體育運動是從上世紀七十年代開始的。1973年，美國的應用數學家J.B.開勒提出了賽跑的理論，并用其理論訓練中長跑運動員，取得了很好的成績。幾乎同時，美國的計算專家艾斯特運用數學、力學，并借助計算機研究了當時鐵餅投擲世界冠軍的投擲技術，從而提出了他自己的研究理論，據此提出了改正投擲技術的訓練措施，從而使這位世界冠軍在短期內將成績提高了4米，在一次奧運會的比賽中創造了連破三次世界紀錄的輝煌成績。數學在體育訓練中也在發揮著越來越明顯的作用，鉛球的投擲問題自然也可考慮用數學方法來探討。

2  簡化假設：為方便研究起見，我們不考慮投擲者在投擲圓內用力階段的力學過程。只考慮鉛球脫手時的初速度和投擲的角度對鉛球投擲遠度的影響。為此，不妨將鉛球視為一個拋射體?？梢宰龀鋈缦氯齻€假設。

（1） 將鉛球視為一個質點；

（2） 鉛球運行過程中忽略空氣的阻力；

（3） 投擲角和初速度相互獨立。

3  模型的建立：以鉛球出手點的鉛垂方向為y軸（向上為正），以y軸與地面的交點到鉛球落地點方向為x軸構成平面直角坐標系，在此坐標系內考慮鉛球的運動。記v為鉛球出手時的速度，α為投擲角，h為鉛球出手時的高度，t為鉛球運動的時間（t = 0時鉛球出手）。則由物理學可以得到鉛球的運動方程

                      x = (v cosα) t

                          y = (v sinα) t –g t² + h，

其中g =9.8m / s²是重力加速度。消去t可得鉛球運動軌跡的方程

                 y =+ (tanα)x + h                        ①

若鉛球投擲的遠度為s，則軌跡將于(s，0)點與x軸相交，將它代入①式，解出s可得

                S =             ②

②式描述了鉛球投擲的遠度s與投擲時的出手速度及投擲角度之間的關系。

4  模型求解與分析：表1列出了由我國前優秀的女子鉛球運動員李梅素和前蘇聯運動員斯盧皮亞內克的幾組實測數據。表中的遠度是根據公式②算出的模型值。與實測成績相比較，僅差20cm左右。這是因為遠度s中并沒有包括鉛球出手的瞬間超出抵趾板內沿的距離。由此可見，用模型②來討論v，h，α三個因素與投擲鉛球成績的關系是可行的。

表1  李梅素與斯盧皮亞內克鉛球投擲成績

（1） 最佳出手角度

由模型②可以看出，鉛球的出手速度v和出手高度h越大，遠度s就越大?，F在考慮當v，h一定時，如何選擇最佳的出手角度，使遠度達到最大。這是一個函數求極值的問題。求s關于α的一階導數，令其為0并整理得出，最佳出手角度α將滿足如下方程

+ v²sin2αcos2α– 2ghsin2α= 0。

將此方程有理化，并整理可得

                       cos2α=                          ③

從理論上分析③式不難得到：

由于h > 0，α> 0，故有0 <α≤45^o。特別當h = 0時（出手點與落地點在同一高度），最佳出手角度α= 45^o。

給定鉛球的出手高度h，出手速度v變大，相應的最佳出手角度α也隨之變大。

如果給定出手速度v，增加鉛球的出手高度，相應的出手角度反而變小。

（2） 投擲鉛球的最佳模式

為了教練使用方便，利用模型②式和③式可以提供一個投擲鉛球的最佳模式表。

根據來自優秀女子鉛球運動員的技術數據，選定出手速度（10m/s ~15m/s）和出手高度（1.90m~2.1m）。利用③式可以算出最佳出手角度α(^o)，然后利用②式求出相應的遠度s(m)，列表 2如下：

表 2  投擲鉛球的最佳模式

表2中每一格內左上角的數字是最佳的出手角度，右下角的數字給出了鉛球相應的投擲遠度。教練可以用這個表來指導訓練。譬如，已知一個運動員的鉛球出手高度h =2m，出手速度v =13m/s，那么從表1 – 2中就可以查出最佳的出手角度α= 42.01^o，這時遠度s =19.14m；再譬如一個運動員要想成績突破23m大關，從表1 – 2中可以查出其出手速度必須接近14.5m/s。

（3） 主要因素分析

模型②式給出了鉛球投擲的遠度(s)與影響它的三個因素（出手高度h、出手速度v和出手角度α）之間的關系。盡管我們使用數學的工具著重分析了有關最佳出手角度的問題。但h，v，α這三個因素中哪個是最主要的？哪個是次要的？可能是教練和運動員更關心的問題。這個問題可以通過模型對各個變量的靈敏度分析而獲得解答。即逐步討論各變量的變化對遠度s的影響程度。影響大的因素在模型中稱之為靈敏的，而影響小的稱之為不靈敏的。由于模型的數學表達式較為復雜，直接使用數學方法分析較為困難。不妨使用數值的方法來分析。即讓h，v，α三個變量在可能的范圍內變化，使用計算機計算其遠度的模型值，并計算每個變量變化時所引起的遠度改變量的極差，通過極差值的分析比較來判斷各因素對于鉛球投擲遠度的重要性。

表3列出了h，v，α在可能取值范圍內若干取值點上遠度的計算結果和各變量變化時遠度的極差值。從表3所列的極差值可以看出，出手角度在其可能取值范圍內所引起的遠度最大改變量在0.05m~0.42m之間；而出手速度在所列的取值范圍內引起的最大距離改變量要在12.47m~12.89m之間；類似地還可以算出出手高度變化時遠度的極差值（表1 – 2中未列出，但可由表中數據算出）的變化范圍在0.16m~0.22m之間。這些數據表明鉛球的出手速度無疑是影響遠度最重要的因素。平均而論，出手速度每增加1m，將導致遠度提高2m的距離。這是任何其他兩個因素的影響所不能相比的。因此為了提高鉛球投擲的成績，提高出手速度比提高出手高度及出手角度要有效得多。另外，比較其它兩因素可以看出，出手角度導致遠度的極差變化的范圍要比出手高度大，這表明在投擲過程中最佳出手角度的調整對于取得穩定的成績是重要的。但進一步分析表明，在最佳出手角度上下有2^o的誤差情形之下遠度的極差不會超過0.06m，這表明，對角度的要求不必過份準確，只要在最佳出手角度的一定范圍內即可。而此時較高的出手高度還會使遠度增加0.16m~0.22m。因此，出手高度應該是在訓練過程中應當重視的第二個重要因素。

表3  影響鉛球投擲因素的靈敏度分析

        α

   v   s       37      38      39      40      41      42      43      極  差

  h

       10    11.89   11.92   11.94   11.95   11.95   11.94   11.92     0.06

       11    14.01   14.05   14.09   14.11   14.12   14.12   14.10     0.11

       12    16.31   16.38   16.43   16.46   16.48   16.48   16.47     0.17

 1.9   13    18.80   18.89   18.96   19.01   19.04   19.05   19.04     0.25

       14    21.48   21.59   21.68   21.75   21.79   21.81   21.82     0.34

       15    24.36   24.49   24.60   24.68   24.74   24.78   24.78     0.42

  極  差     12.47   12.57   12.66   12.73   12.79   12.84   12.86

       10    11.98   12.01   12.03   12.04   12.04   12.02   12.00     0.06

       11    14.10   14.15   14.18   14.20   14.21   14.20   14.18     0.11

       12    16.41   16.47   16.52   16.55   16.57   16.57   16.56     0.16

 2.0   13    18.90   18.99   19.05   19.10   19.13   19.14   19.13     0.24

       14    21.59   21.70   21.78   21.85   21.89   21.91   21.91     0.32

       15    24.46   24.60   24.70   24.79   24.84   24.87   24.88     0.42

  極  差     12.48   12.59   12.67   12.75   12.80   12.85   12.88

   10    12.07   12.10   12.12   12.12   12.12   12.10   12.08     0.05

   11    14.20   14.24   14.27   14.29   14.29   14.28   14.26     0.09

   12    16.51   16.57   16.62   16.65   16.66   16.66   16.64     0.15

 2.1   13    19.01   19.09   19.15   19.20   19.22   19.23   19.22     0.22

   14    21.70   21.80   21.88   21.94   21.98   22.00   21.99     0.30

   15    24.57   24.70   24.80   24.88   24.94   24.97   24.97     0.40

  極  差     12.50   12.60   12.68   12.76   12.82   12.87   12.89

5  模型檢驗：考察我國著名鉛球女運動員李梅素的兩組值得注意的數據：

（1）h =1.90m，α= 37.60^o，v =13.75m/s，s =20.68m，成績20.95m；

（2）h =2.00m，α= 39.69^o，v =13.52m/s，s =20.22m，成績20.30m；

第二組數據中的出手高度和出手角度比第一組都有所提高。然而第二組的遠度卻降低了。教練和運動員都有這樣的經驗：運動員投擲鉛球的出手角度提高了，即使更接近于最佳出手角度，而成績非但沒有提高，反而降低了。原因主要是隨著出手角度的提高，出手速度降低了。這個事實告訴我們，出手角度與出手速度并不是相互獨立的。它是運動員在投擲過程中用力過程的一個綜合結果。因此，建立模型②式的前提假設（3）是不恰當的。仔細分析模型②式就會發現它只是描述了一個拋射體的運動規律，并沒有牽涉到投擲鉛球的機制，因此必須對模型進行改進。

6  模型修改：鉛球的投擲過程大致可分成滑步階段和用力階段。關于鉛球的投擲過程我們假設：

（4）滑步階段為水平運動，鉛球隨人的身體產生一個水平的初速度v₀。

（5）在用力階段，運動員從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時間，記為(0，t₀)。

（6）在運動員用力的時間內，運動員作用在鉛球上的推力F大小不變，其方向與鉛球的出手角度α相同。

用這三個假設代替建立模型②式時所作的假設（3）來進一步組建鉛球的投擲模型。

模型②式很好地描述了鉛球出手以后的運動狀況，因此，下面的改進模型主要在于建模描述鉛球出手速度的形成過程以得到出手速度與出手角度之間的依賴關系。

若記x(t)，y(t)為開始用力后鉛球運動軌跡的水平和鉛垂方向的坐標。則根據牛頓第二運動定律，由假設（6）有

                                                  ④

④式中m為鉛球的質量，F是對鉛球的推力，α為力的方向即鉛球的出手角度。

根據假設（5），令t = 0時運動員開始用力推鉛球，t = t₀時鉛球出手，即t₀是推鉛球時力的作用時間。在區間(0，t₀)上積分④式可得

                    (t₀) =t₀cosα+ C₁

                    (t₀) =t₀sinα- gt₀ + C₂

其中C₁，C₂分別是t = 0時鉛球的水平與垂直的初速度，即C₁ =(0)，C₂ =(0)。由假設（4），有C₁ = v₀，C₂ = 0，于是有

                                                ⑤

由⑤式可以得到鉛球的合速度，即鉛球的出手速度

         v =                                                     

          =                  ⑥

將⑥式與②式合并就得到了鉛球投擲遠度模型。

7  改進模型的分析：分析出手速度模型⑥式，不難看出v隨著F和t₀的增加而增大，顯然v也隨著v₀的增大而增大。這與常識一致。由于0 <α<π/2，由⑥式還可以看出v將隨著α的增加而減小。即當推力F和作用時間t₀不變時，運動員要提高鉛球的出手角度α，就必須以降低出手速度為代價。因此對于鉛球投擲來說，模型②式所給出的“最佳出手角度”不一定是最佳的。

進一步分析鉛球投擲的改進模型⑥式可以得到鉛球投擲存在一個最佳出手角度，它要小于模型②式所給出的最佳角度。對模型⑥式還可以給出類似于模型②式的全部分析（此處從略）。

8  對改進模型的檢驗：表4列出了我國女子鉛球兩位優秀運動員不同階段的幾組數據。出手角度從40.27^o降到35.13^o，出手速度從13.16m/s提高到14.08m/s，而投擲鉛球的成績則從19.40m提高到21.76m，這也進一步驗證了模型⑥式的可靠性。

表 4  優秀運動員的鉛球投擲數據

9  模型解釋與應用：中國女子鉛球教練在總結女子鉛球技術時曾經這樣描述：滑步的低、平、快；過渡階段隨著左腿低而快地直頂抵趾板下沿，推髖側移，使鉛球低而遠地遠離出手點；最后用力階段突出向前性。比較前面有關模型的分析，我們發現了這些實踐經驗的科學依據?？茖W的訓練有助于運動員發揮自己的特長，取得優異的成績。

第3節  數學模型思想的基本要求

樹立學生的數學應用意識不僅對學生樹立正確的數學價值觀具有重要作用，而且是培養學生數學應用能力的基礎，因此，我國義務教育數學課程標準（實驗稿）中非常強調培養學生的數學應用意識。數學應用意識主要表現在：認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，認識到數學在現實世界中有著廣泛的應用；面對現實問題時，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能主動尋求實際背景，并探索其應用價值。而把握數學模型思想則是樹立數學應用意識的重要手段和途徑。為此，課程標準指出，“…強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。例如，彩帶每米售價4元，購買2米、3米、4米、5米、6米、7米彩帶分別需要多少錢？ 將彩帶長度和價錢所對應的點描在坐標紙上，再順次連接起來，并要求學生回答下列問題：a.所描的點是否在一條直線上？b.估計一下買1.5米的彩帶大約要花多少元？c.小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍？這一問題就比較充分地體現了將現實問題抽象成比例關系模型并進行解釋和應用的過程。課程標準還將“實踐與綜合應用”作為四個重要的內容領域之一，旨在幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與學生生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性等問題，以發展他們解決問題的能力。例如：試設計合適的包裝方式。（1）現有4盒磁帶，有幾種包裝方式？哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）（2）若有8盒磁帶，哪種方式更省包裝紙？（重疊處忽略不計）。這一問題是現實生活中常見的問題，通過解決這類問題可以培養學生綜合運用所學相關數學知識解決現實問題的能力。課程標準強調在“數與代數”、“空間與圖形”和“統計與概率”等內容領域的學習中滲透數學模型思想。比如，在“數與代數”內容的學習中，要求“探索給定事物中隱含的規律或變化趨勢”，“能夠根據具體問題中的數量關系，列出方程，體會方程是刻劃現實世界的一個有效的數學模型”，這里的“規律或變化趨勢”、“方程”即是我們所說的 “數學模型”。例如，“完成序列，并說明理由。0.5，1.5，4.5，_______?！?；再比如，在“空間與圖形”內容領域地學習中，要求學生“結合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法”，這里的“計算方法”即是我們所說的 “數學模型”；再比如，在“統計與概率”內容的學習中，要求“根據具體的問題，能選擇適當的統計量表示數據的不同特征”。例如，“選擇適當的統計量來表示我們班同學最喜愛的顏色”就是選擇和應用合適的數學模型（統計模型）來描述現實問題的很好例子。

數學模型思想在全日制義務教育階段的總體要求是“滲透”。要求將數學模型思想寓于具體的概念、法則、現實問題解決以及一般數學問題的學習和探索過程中，使學生在對數學規律與方法的探索、歸納和提煉過程中，領會數學模型的涵義，認識數學模型的作用，感受數學模型思想，體會數學的應用價值，樹立數學應用的意識，初步獲得發現問題、提出問題、解決簡單現實問題的能力。

在義務教育階段數學課程中對數學模型應該持廣義的理解，即一切數學概念、算法、規則、問題中蘊含的規律等均可視為數學模型，持這種理解更有助于在教與學的過程中使學生體會數學模型的思想，形成運用數學模型思想思考問題的意識。

第四節 數學模型思想的教學建議

由于小學生所掌握數學知識與手段的限制，不可能進行狹義的、原汁原味的數學建模教學，因此，小學數學教學應始終貫徹滲透數學模型思想的策略，應將數學建模教學有機融入小學數學內容教學之中。《數學課程標準》倡導以“問題情境-----建立模型-----解釋、應用與拓展（反思）”作為小學數學課程的一種基本表述模式，并已在教材中體現出按這一模式編寫內容。

數學是模式的科學，學數學就是學習模型化的過程。數學家布克說過：“模型化是數學中的一個基本概念，它處于所有數學應用之心臟，也處于某些最抽象的純數學的核心之中”。所謂“模型化”就是將原本復雜的、具有現實背景的或多樣化表現形式的問題本質化、簡潔化、一般化，并最終以數學符號、語言、關系式等形式表達出來。小學數學中的所有內容都是現實世界中數與形及其關系抽象的產物，都是反映一些事物共性的數學模型。在小學數學課程中，“模型”主要表現為概念、法則、公式、性質、數量關系等。

在小學數學教學中，有意識地引導學生建立數學模型化的意識，培養學生構建“數學模型”的能力，是提高學生數學素質的一條重要途徑。傳統數學教學其實并沒有也不可能回避 “數學模型”，而只是過分強調了教師在建立模型中的作用，學生所關注的是如何理解、記憶和應用模型。新課程強調由學生在問題情境中主動探索、構建數學模型。在教材發生重大變革的今天，教師應當認識到，引導學生構建數學模型的過程既是“數學化”的過程，又是思維訓練的過程，是提升學生發現數學、“創造”數學、運用數學的能力和素養的有效途徑。小學數學教學中應實施“模型化”的數學教學模式，在“模型化”教學實施過程中，需要教師引導學生通過觀察、操作、猜測、嘗試、解釋、合作與交流等數學活動來實現，學生在其中要經歷復雜的數學思維過程，在此過程中，學生不僅可以獲得建構數學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，同時，學生在將思維過程用語言、符號外化為“模型”的過程中發展思維能力和數學意識。

在小學數學教學中滲透數學模型思想，應注重從數學概念類模型的建立、數學規則類模型的建立、數學應用題教學中滲透模型化方法等方面事實。

1  數學概念類模型的建立

數學概念是數學知識的基石，主要表現為數學語言中的名詞、術語、符號等的準確含義。由于數學概念了反映客觀現實中數學關系的本質屬性，因而，每一個數學概念都是數學模型，并且每個概念都是建立其他數學模型的材料。因此，概念類模型的建立是滲透數學模型思想、實施“模型化”數學教學模式的基本形式和基礎。由于小學生以形象思維為主，知識的形成大多以實物圖、形象圖作藍本，因此，小學階段構建概念類數學模型應當從具體到抽象，抓住某事物（ 研究對象）的一個（類）本質屬性，舍棄其它屬性，從而獲得較原事物更為一般的概念模型。數學概念類模型建立的教學一般包括如下幾個環節：

（1）感知具體對象。教師引導學生關注具有典型意義的日常生活中的數學現象或已有知識中的數學活動經驗與數學事實，使學生對這些具體對象進行充分的感知活動（觀察、操作、體驗等）。例如，教學“乘法”概念，教師在引導學生觀察2+2、3+3、1+3+6等算式后，組織學生進行“算一算”“分分類”等活動。

（2）嘗試建立表象。學生已對學習對象建立整體的初步認識，對其基本屬性形成大致的“映像”，但其認識中往往包含非本質的屬性。因此，教師可以以“請你也寫幾個這樣的算式”“說說這些算式有哪些共同點，哪些算式不具有這樣的共同點？”等問題引導學生思考，以建立關于概念的表象。

（3）抽象本質屬性。教師要引導學生通過比較、分析、綜合、歸納等思維活動，復合表象，將本質屬性抽取出來，構成同類對象本質的關鍵特征。教師可讓學生“同學間交流這些算式的規律”、“想一想，再說一說，這些算式可以由哪幾個因素決定”，以幫助學生思考，從而將“乘法“概念的本質屬性抽取出來。

（4）語言、符號表征。對學習對象屬性的關鍵特征嘗試用語言或符號進行概括與表征，從而獲得概念。比如，教師可引導學生將“相同加數的連加式”用“相同加數×相同加數的個數”的方式簡便地表示，建立起“乘法”概念模型。

（5）概念內化。教師要幫助學生深入理解概念的內涵與外延，在運用與推廣概念的過程中修正對概念的理解。比如，在建立起“乘法”概念模型后，教師可以繼續讓學生思考和回答下列問題：“在乘法的定義中，你認為哪幾個詞最重要？”、“乘法與加法有什么聯系與區別？”、“下列算式中哪些可以用乘法表示？為什么？12+12+12，2+2+2+1，……”。

2  規則類模型的建立

數學規則是運算、推理與論證的依據，其主要表現為法則、定理、公式、性質等。根據小學生的思維發展水平，規則的提煉過程應以合情推理為主。構建規則類模型的方式通常包括如下幾個環節：

（1）提供事例。規則類模型的建立中，首先要為學生提供學生所熟悉的有利于發現規則的具體例證。例證的選擇和呈現方式會影響學生的學習態度、思維深度和規則發現的難易度。例如，在“20以內進位加法”算法中的“湊十法”這一規則類模型的建立過程中，教師可以作如下引導：（出示圖：盒子有10個格子，放了9個球，盒外有3個球）“說說這附圖告訴我們什么？”、“你知道一共有幾個球嗎？怎么知道的？”、“寫出算式”。

（2）探索例證。由于規則是以非演繹的方式獲得的，為了支持學生的思維活動，教師應組織學生對具體例證進行探索與交流。比如，“你有什么好辦法讓別人知道一共有幾個球？說說你的操作過程?！薄叭绻袃扔?個球，又可以怎么放？”（出示圖）“你發現了什么？”。

（3）發現規則。學生經過觀察、探索、運演，由直觀到抽象，由個別到一般等逐步發現事物間的關系或規律，經歸納、猜測、驗證，用簡練、準確的數學語言（含符號表示）表達出來，形成規則（模型）。應結合對例證的探索，逐級抽象概括?？紤]到兒童的抽象概括能力較弱，通常用多級抽象方式，從例證中抽象規則。教師可這樣幫助學生：“將剛才操作球的過程用算式表示出來?！保ń處熞龑W生邊說球的操作過程，邊建立反映思考過程的直觀的算式模型）“說說算式中的1和2是指哪幾個球，3個球為什么要分為1個和2個？10表示什么？12呢？”，、“不說球，根據算式直接說說你是怎么加的”、“要算8+5，又可以怎么說?！?、“用自己的話說說，一位數加一位數進位加可以怎么算？”（教師引導抽象成“看大數，拆小數，先湊十，再加幾?！保亩瓿蓮奈锢砟Ｐ偷街庇^的數學模型再到抽象的數學模型的建構過程。

3  在解決應用題中滲透數學模型方法

小學數學中的每一個應用題其實都是客觀原型，而解題列式則可以看作是抽象成一個數學模型的過程，只是有些應用題所屬類型已經抽象成數學模型，解題的過程就是將已知數量關系納入數學模型，進而求解數學模型的過程，這一類應用題稱為典型應用題。典型應用題具有固定的數學關系和解法。例如，歸總問題、倍比問題、求平均數問題、行程問題（相遇問題、追擊問題）、工程問題等均屬典型應用題。例如，“從甲地到乙地的鐵路長596千米，一列快車從甲地開出，同時一列慢車從乙地開出，兩車相向而行，快車平均每小時行100千米，慢車每小時行49千米，問經過幾小時兩車相遇？”就是一個典型的行程（相遇）問題，具有固定的數學模型（數量關系）：總路程=速度和×相遇時間，。在講解這些典型應用題時，應著重引導學生分析題目中主要的數量關系，看其屬于哪類典型問題的數學模型，然后用已知的數學模型加以解決。在典型應用題教學中，滲透模型化方法，可使學生更清楚地掌握客觀原型和數學模型中的數量關系的對應性，防止學生在沒有理解的基礎上死套公式的機械學習方法，同時有助于學生從模型的角度認識問題，樹立模型意識。

有些應用題沒有現成的數學模型可以套用，必須深入分析數量關系，重新建立數學模型或者綜合應用某些數學模型的變式來解決問題。這些應用題可稱為綜合應用題。這類問題通常需要將幾個數學模型結合起來形成一個新的數學模型，或是將某些已知的數學模型加以變形、修正，才能充當解決該應用題的特定數學模型。例如，“甲、乙、丙三輛車同時從同一地點出發，沿同一公路追趕前面一個騎車人，三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，已知甲車每小時行24千米，乙車每小時行20千米，問丙車每小時行多少千米？”就是一個比較復雜的追擊問題，其數量關系較為復雜。解決這一問題并非有某一現成的數學模型可以直接解決，需要綜合運用“速度=路程÷時間”、“路程=速度×時間”、“追擊路程=速度差×追擊時間”這三個模型才能解決，其中，第二個模型是第一個模型的變形，而第三個模型則可以看作是對第二個模型的修正，因為：追擊路程=追者路程-被追者路程=追者速度×時間-被追者速度×時間=（追者速度-被追者速度）×時間=速度差×追擊時間。在解決綜合應用題時應著重引導學生分析題目的主要數學關系與哪幾個已知數學模型所反映的數量關系類似，不同點在哪里；如何綜合應用或修正它們，使之成為解答該應用題的新的或綜合性的數學模型。如此，可以使學生了解建立模型的方法，能夠有效地滲透數學模型思想。

由于數學模型是在舍棄了研究對象的非本質屬性基礎上提煉抽象出來的，往往具有較強的統攝性和廣泛的適用性。因此，往往能夠運用于表面上看起來不同的很多問題。如果在解決數學應用問題的過程中，靈活活運用“ 數學模型”，不但有助于問題的解決，而且有助于使學生深刻領會所學知識。

此外，在小學數學解題中應注意通過構造“模型”解決問題。比如，在解決數學應用問題時，恰當地運用“示意圖”這種數學模型，往往有助于對問題結構的分析，從而有利于問題的解決。事實上，由于“示意圖”抽取了現實問題中的數量，并用簡單圖形表達了這些數量之間的關系，從而為解答現實問題建造 了一座“橋”，這座橋是小學生進行數學思維所賴以進行的“思維之 橋”，它將內蘊于數學應用問題中的復雜數量關系的最本質特征以直觀形象的形式清晰地凸現出來，符合小學生習慣于形象思維的心理特點。示意圖有很多種，小學階段通常采用模擬圖、直觀圖、點子圖、線段圖、矩形圖、集合（ 韋恩）圖等，其中，線段圖應用頻率最高。

在小學數學教學中，應該從低年級起就給學生創造各種機會，運用實物材料和圖畫展示等手段引導學生關注事件、形體、圖樣和數據中的規律性，使其感覺到模式是處處存在的，使其有意識地關注模式、識別模式、尋找模式并運用計量、圖形、關系等數學語言和符號表示它們，使其理解數學是如何應用到他們生活世界中的，體會到建立模型、研究模型、應用模型是數學的本質。教師應從數學知識的現實原型出發，引導學生通過觀察、分析、概括、抽象，獲得數學概念、公式、定理、法則等模型。教師在引導學生探索發現數學模型時應注意以下幾點:第一，教師為主導,學生為主體。既要防止“滿堂灌”,一古腦兒地將發現過程講給學生聽;也要防止“放羊式”,一味地使學生無目的地胡猜亂試。教師應及時引導、點撥,啟發學生認真思考、仔細觀察、尋找規律,要及時糾正學生可能出現或已經出現的關鍵性錯誤與認識；第二，教師要循循善誘,幫助學生盡可能快地找到本質規律,培養學生用數字和符號表述規律的能力。為此，要引導學生進行仔細地觀察、實驗與歸納；第三，教師要引導學生將已建立的數學模型推廣至一般情況,并回到實踐中檢驗,提高運用該數學模型解決同類實際問題的能力?？蛇m當列舉一些不屬于該數學模型所表述的現實問題的反例,以避免學生濫用模型和濫套公式。

參考文獻

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    (李明振  南京師范大學數學博士后流動站  210097)